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考研数学2004数三真题答案
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04-26
【问答】
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摘要**解析数学四考研真题****题目一：****题目描述：**在复平面上给定两个不同的复数$a$和$b$，且$|a|=|b|=1$，若对于任意的正整数$n$，复数$a^n-b^n$都是实数，则必有$\f
解析数学四考研真题
题目一：
题目描述：
在复平面上给定两个不同的复数$a$和$b$，且$|a|=|b|=1$，若对于任意的正整数$n$，复数$a^nb^n$都是实数，则必有$\frac{a}{b}$是实数或虚数。
解析：
我们知道复数$a$和$b$的模长都为1，这意味着它们都落在单位圆上，即它们到原点的距离都是1。我们可以将$a$和$b$表示为极坐标形式：
$a = e^{i\alpha}$
$b = e^{i\beta}$
其中，$\alpha$和$\beta$是实数，且$0 \leq \alpha, \beta < 2\pi$。
现在考虑$a^nb^n$，根据欧拉公式，我们有：
$a^n = e^{in\alpha}$
$b^n = e^{in\beta}$
因此，
$a^n b^n = e^{in\alpha} e^{in\beta}$
我们知道$e^{ix} = \cos(x) i\sin(x)$，因此：
$a^n b^n = (\cos(n\alpha) i\sin(n\alpha)) (\cos(n\beta) i\sin(n\beta))$
化简得：
$a^n b^n = (\cos(n\alpha) \cos(n\beta)) i(\sin(n\alpha) \sin(n\beta))$
现在我们要求$a^n b^n$是实数，即虚部为0。这意味着$\sin(n\alpha) \sin(n\beta) = 0$。由三角函数的性质可知，这只可能在两种情况下成立：
1. 当$n\alpha = n\beta$，即$\alpha = \beta$。
2. 当$n\alpha n\beta = k\pi$，其中$k$是整数。
对于情况1，$\frac{a}{b} = e^{i(\alpha \beta)} = e^{i\cdot0} = 1$，这是一个实数。
对于情况2，$\frac{a}{b} = e^{i(\alpha \beta)} = e^{i(k\pi/n)}$，这是一个虚数。
对于任意正整数$n$，$\frac{a}{b}$要么是实数，要么是虚数。
结论：
必有$\frac{a}{b}$是实数或虚数。
题目二：
题目描述：
已知方程组
\[
\begin{cases}
x^2 y^2 z^2 = 6 \\
xy yz zx = 0
\end{cases}
\]
的实数解$(x, y, z)$满足$x \neq y \neq z$。求$x^3 y^3 z^3$的值。
解析：
我们注意到第二个方程$xy yz zx = 0$可以写成$(x y z)^2 (x^2 y^2 z^2) = 0$。
代入第一个方程得到$(x y z)^2 6 = 0$，即$(x y z)^2 = 6$。所以$x y z = \sqrt{6}$ 或 $x y z = \sqrt{6}$。
现在考虑求解$x^3 y^3 z^3$。我们知道$x^3 y^3 z^3 = (x y z)(x^2 y^2 z^2 xy yz zx) 3xyz$。
代入已知条件得到$x^3 y^3 z^3 = \sqrt{6} \cdot (6 0) 3xyz$ 或 $x^3 y^3 z^3 = \sqrt{6} \cdot (6 0) 3xyz$。
由于$x \neq y \neq z$，所以$x y z = \sqrt{6}$ 或 $x y z = \sqrt{6}$。我们可以解出$xyz$的值。
当$x y z = \sqrt{6}$时，$xyz = \frac{(x y z)^3 3(x y z)(x^2 y^2 z^2 xy yz zx)}{3} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$。
当$x y z = \sqrt{6}$时，$xyz = \frac{(x y z)^3 3(x y z)(x^2 y^2 z^2 xy yz zx)}{3} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$。
所以，$x^3 y^3 z^3 = \sqrt{6} \cdot 6 3 \cdot 2\sqrt{6}$ 或 $x^3 y^3 z^3 = \sqrt{6} \cdot 6 3 \cdot (2\sqrt{6})$。
最终得到$x^3 y^3 z^3 = 30\sqrt{6}$ 或 $x^3 y^3 z^3 = 30\sqrt{6}$。
结论：
所以，$x^3 y^3 z^3 = 30\sqrt{6}$ 或 $x^3 y^3 z^3 = 30\sqrt{6}$。
这两道题目的解析应该可以帮助你更好地理解数学四考研的真题。
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